Relasi dan fungsi

TUGAS KEDUA MATEMATIKA

Relasi dan Fungsi: 

Pengertian, Perbedaan, dan Contoh Soal

Secara sederhana, relasi dapat diartikan sebagai hubungan. Hubungan yang dimaksud di sini adalah hubungan antara daerah asal (domain) dan daerah kawan (kodomain). Kedua jenis daerah akan dijelaskan kemudian. Sedangkan fungsi adalah relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan daerah asal tepat satu ke himpunan daerah kawannya. Perbedaan antara relasi dan fungsi terletak pada cara memasangkan anggota himpunan ke daerah asalnya.

 

Pada relasi, tidak ada aturan khusus untuk memasangkan setiap anggota himpunan daerah asal ke daerah kawan. Aturan hanya terikat atas pernyataan relasi tersebut. Setiap anggota himpunan daerah asal boleh mempunyai pasangan lebih dari satu atau boleh juga tidak memiliki pasangan. Sedangkan pada fungsi, setiap anggota himpunan daerah asal dipasangkan dengan aturan khusus. Aturan tersebut mengharuskan setiap anggota himpunan daerah asal mempunyai pasangan dan hanya tepat satu dipasangkan dengan daerah kawannya.

Relasi dan Fungsi

Kesimpulannya, setiap relasi belum tentu fungsi, namun setiap fungsi pasti merupakan relasi. Penjelasan mengenai relasi dan fungsi dapat dilihat pada gambar di bawah.

Selanjutnya, mari simak pembahasan lebih lanjut mengenai relasi dan fungsi pada pembahasan di bawah.

 

Daerah Asal, Kawan, dan Hasil

Dalam pembahasan relasi dan fungsi, himpunan yang terlibat digolongkan ke dalam tiga jenis daerah. Ketiga daerah tersebut adalah daerah asal (domain), daerah kawan (kodomain), dan daerah hasil (range). Secara umum, himpunan ketiga daerah tersebut dapat dilihat pada gambar di bawah.

Domain, Kodomain, dan Range

 

Relasi

Seperti yang telah dijelaskan secara singkat di atas, relasi dapat diartikan sebagai hubungan. Misalkan sebuah relasi menyatakan hubungan perkalian. Hasil relasi tersebut dapat dinyatakan dalam himpunan pasangan terurut x dan y dan dapat juga digambar pada bidang kartesius.

Cara menyatakan hasil relasi perkalian antara himpunan A dan B dapat dilihat pada contoh permasalahan di bawah.

    \[ A \; = \; \left \{ 1, \; 2, \; 3, \right \} \]

    \[ B \; = \; \left \{ 2, 3 \right \} \]

 

Cara menyatakan Relasi

Pembahasan selanjutnya adalah mengenai fungsi, simak dengan baik sammpai akhir ya!

Fungsi atau Pemetaan

Fungsi atau yang sering disebut juga dengan pemetaan masih termasuk dalam relasi. Suatu relasi disebut fungsi jika semua anggota himpunan daerah asal dipasangkan tepat satu ke daerah kawannya.

Simbol fungsi yang memetakan himpunan A ke B adalah

    \[ f: \; A \rightarrow B\]

Contoh pemasalahan pada fungsi:

Diketahui himpunan A dan B diberikan seperti di bawah.

    \[ A = \left \{ 0, 1, 2, 3, 4 \right \} \]

    \[ B = \left \{ 0, 1, 2, ..., 10 \right \} \]

Didefinisikan fungsi f: A \rightarrow B dengan f(x) = x + 5.

Tentukan hasil pemetaan dari x \in A oleh fungsi f, D_{f}, K_{f}, dan R_{f}!

Pembahasan:

 

Peta dari x \in A oleh fungsi f yaitu y = f(x):

    \[ f(0) = 0 + 5 = 5 \]

    \[ f(1) = 1 + 5 = 6 \]

    \[ f(2) = 2 + 5 = 7 \]

    \[ f(3) = 3 + 5 = 8 \]

    \[ f(4) = 4 + 5 = 9 \]

 

D_{f} = Daerah Asal

    \[ D_{f} = A = \left \{ 0, 1, 2, 3, 4 \right \} \]

 

K_{f} = Daerah Kawan

    \[ K_{f} = B = \left \{ 0, 1, 2, ..., 10 \right \} \]

 

Daerah Hasil = R_{f}

    \[ D_{f} = A = \left \{5, 6, 7, 8, 9 \right \} \]

Sifat-sifat Fungsi

Fungsi dikelompokkan menjadi 3 (tiga) jenis yaitu fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif. Pengelompokkan tersebut didasarkan pada sifatnya. Perbedaan ketiga jenis tersebut dapat disimak pada penjelasan di bawah.

Fungsi Injektif/Fungsi Into (Fungsi Satu-satu)

Fungsi pertama yang akan dibahas adalah fungsi injektif atau sering disebut dengan fungsi into atau fungsi satu-satu. Fungsi f: A \rightarrow B dikatakan fungsi injektif jika dan hanya jika anggota kodomain hanya dipasangkan satu kali dengan anggota domain.

Pada fungsi injektif, anggota himpunan daerah kodomain boleh tidak memiliki pasangan, namun semua anggota kodomain yang terpsangkan hanya ada satu, tidak boleh ada yang lebih dari satu.

Fungsi Surjektif (Fungsi Onto)

Fungsi Surjekti atau onto memiliki ciri yaitu anggota kodomainnya boleh memiliki pasangan lebih dari satu, namun tidak boleh ada anggota kodomain yang tidak dipasangkan. Fungsi surjektif biasanya dipenuhi apabila jumlah anggota kodomain sama atau lebih banyak dari anggota domain.

Pengertian elemen, bilangan, dan himpunan

1.) Pengertian Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Benda atau objek dalam himpunan disebut elemen atau anggota himpunan. Dari defi nisi tersebut, dapat diketahui objek yang termasuk anggota himpunan atau bukan.

Contoh himpunan:
• Himpunan warna lampu lalu lintas, anggota himpunannya adalah merah, kuning, dan hijau.
• Himpunan bilangan prima kurang dari 10, anggota himpunannya adalah 2, 3, 5, dan 7

Contoh bukan himpunan:
• Kumpulan baju-baju bagus.
• Kumpulan makanan enak.

Jenis-jenis himpunan :

1. Himpunan Bagian (Subset).

Himpunan A dikatakan  himpunan  bagian  (subset)  dari  himpunan B ditulis A ⊂ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.

Contoh :

Misal   A = { 1,2,3,4,5 } dan B = { 2,4} maka  B ⊂ A

Sebab  setiap  elemen  dalam  B merupakan  elemen  dalam A,  tetapi  tidak sebaliknya.

2. Himpunan Kosong (Nullset)

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai unsur anggota yang sama sama sekali.

Syarat :

Himpunan kosong = A atau { } Himpunan kosong adalah tunggal

Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan

Perhatikan : himpunan kosong tidak boleh di nyatakan dengan { 0 }.

Sebab : { 0 } ≠ { }

Penjelasan : dari definisi diatas himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai satupun anggota, dan biasanya himpunan kosong dinotasikan dengan huruf yunani ø (phi).

3. Himpunan Semesta

Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan “U” atau “S” (Universum) yang berarti himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau kata lainya himpunan dari objek yang sedang dibicarakan.

4. Himpunan Sama (Equal)

Bila setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B, begitu pula sebaliknya.dinotasikan dengan A=B

Contoh :

A ={ c,d,e}    B={ c,d,e }   Maka A = B

Penjelasan : Himpunan equal atau himpunan sama,memiliki dua buah himpunan yang anggotanya sama misalkan anggota himpunan A {c,d,e} maka himpunan B pun akan memiliki anggota yaitu { c,d,e }.

5. Himpunan Lepas

Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya tidak ada yang sama.

Contoh  C = {1, 3, 5, 7}   dan  D = {2, 4, 6}  Maka himpunan C dan himpunan D saling lepas.

Catatan : Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satu pun anggota yang sama

6. Himpunan Komplemen (Complement set)

Himpunan komplemen dapat di nyatakan dengan notasi A^C . Himpunan komplemen jika di misalkan S = {1,2,3,4,5,6,7} dan A = {3,4,5} maka A ⊂ U. Himpunan {1,2,6,7} juga merupakan komplemen, jadi A^C = {1,2,6,7}. Dengan notasi pembentuk himpunan ditulis :

A^C = {x│x Є U, x Є A}

7. Himpunan Ekuivalen (Equal Set)

Himpunan ekuivalen adalah himpunan yang anggotanya sama banyak dengan himpunan lain.

Syarat : Bilangan cardinal dinyatakan dengan notasi n (A) A≈B, dikatakan sederajat atau ekivalen, jika himpunan A ekivalen dengan himpunan B,

Contoh :

A = { w,x,y,z }→n (A) = 4

B = {  r,s,t,u   } →n  (B) = 4

Maka n (A) =n (B) →A≈B

Penjelasan : himpunan ekivalen mempunyai bilangan cardinal dari himpunan tersebut, bila himpunan A  beranggotakan 4 karakter maka himpunan B pun beranggotakan 4.

2. Elemen

Elemen atau anggota (bahasa Inggris: member) dari suatu himpunan dalam matematika adalah objek-objek matematika tertentu yang membentuk himpunan itu.

Contoh :

| x | x < 2, x £ bilangan asli
| x | x > 3, x £ bilangan ganjil
£ => dibaca elemen

3. Bilangan

Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran.

Macam-macam bilangan

1. Bilangan Bulat
• Bilangan Bulat adalah semua bilangan selain pecahan atau desimal, terdiri dari bilangan bulat positip, nol dan bilangan bulat negatif.
• Contah:  dst.... -3,-2,-1,0,1,2,3...dst
2. Bilangan Genap
• Bilangan Genap adalah bilangan bulat yang habis dibagi dua.
• Contoh: 2,4,6,8,10,12,14......dst
3. Bilangan Ganjil
• Bilangan Ganjil adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi dua.
• Contoh: 1,3,5,7,9,11,13,15.....dst
4. Bilangan Cacah
• Bilangan Cacah adalah bilangan bulat positif yang dimulai dari angkal nol (0) sampai dengan tak terhingga.
• Contoh: 0,1,3,4,5,6,7,8,9,10,11.... dst
5. Bilangan Asli
• Bilangan Asli adalah bilangan bulat positif yang dimualai dengan angka satu (1) sampai tak terhingga.
• Contoh: 1,2,3,4,5,67,8,9,10,11,... dst
6. Bilangan Prima
• Bilangan Prima adalah bilangan yang hanya dapat dibagi oleh angka 1 atau bilangan itu sendiri.
• Contoh: 2,3,5,7,... dst
7. Bilangan Pecahan
• Bilangan pecahan adalah bilangan yang terdiri dari pembilang dan penyebut.
• Contoh : 5/7
• 5 dinyatakan sebagai bilangan pembilang
• 7 dinyatakan sebagai bilangan penyebut
8. Bilangan Rasional
• Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a/b dimana a dan b adalah bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0.
• Contoh: 2/1 , 1/2, 2/3, 3/4, .... dst
9. Bilangan Irrasional
• Bilangan Irrasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti) atau bilangan yang tidak bisa dibuat pecahannya.
• Contoh:
10. Bilangan Riil 
• Bilangan Riil adalah semua bilangan rasional dan irrasional. 
• Contoh: 1,3,5,3,6, 1/2, 3/4,...dst
11. Bilangan Komposit
• Bilangan Komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima.
• Contoh: 4,6,8,9,10,12,14,16,18,...dst
12. Bilangan Kuadrat
• Bilangan Kuadrat adalah bilangan yang dikalikan dengan bilangan itu sendiri
13. Bilangan Kubik
• Bilangan Kubik adalah perkalian bilangan dengan bilangan itu sendiri sebanyak tiga kali
14. Bilangan Romawi
• Bilangan Romawi adalah sistem penomoran yang berasal dari Romawi kuno. Sistem penomoran ini memakai huruf Latin untuk melambangkan angka numerik