Jumat, 18 Oktober 2019

Turunan fungsi

Turunan fungsi

Pada dasarnya konsep turunan sering sekali digunakan dalam kehidupan sehari-hari, baik dalam ilmu matematika atau ilmu yang lainnya. Kegunaan tersebut yang sering kita ketahui ialah menghitung garis singgung suatu kurva atau fungsi dan kecepatan. Selain itu juga, konsep turunan ini juga sering digunakan untuk laju pertumbuhan organisme (biologi), keuntungan marjinal (ekonomi), kepadatan kawat (fisika) dan laju pemissahan (kimia). Kegunaan itu semua pada dasarnya memiliki konsep yang sama yaitu konsep turunan. Untuk lebih jelasnya, yuk kita simak penjelasan dibawah berikut ini:

Pengertian Turunan dan Turunan Fungsi

Pengertian Turunan

Turunan atau Deriviatif ialah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input.

Secara umum, turunan menyatakan bagaimanakah suatu besaran berubah akibat perubahan besaran yang lainnya, Contohnya: turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu ialah kecepatan sesaat oleh objek tersebut.

Proses dalam menemukan sebuah turunan disebut diferensiasi. Dan kebalikan dari sebuah turunan disebut dengan Anti Turunan. Teorema fundamental kalkulus mengatakan bahwa antiturunan yaitu sama dengan integrasi. Turunan dan integral ialah 2 fungsi penting dalam kalkulus.

$(\ln x)'={\frac {1}{x}}\,$
$(\sin x)'=\cos x\,$
$(\cos x)'=-\sin x\,$
$(\tan x)'=\sec ^{2}x\,$

$y'$ Ialah simbol untuk turunan pertama.
$y''$ Ialah simbol untuk turunan kedua.
$y'''$ Ialah simbol untuk turunan ketiga.

Simbol yang lainnya selain

y'\,

dan

y''\,

ialah

{\frac {dy}{dx}}\,

dan

{\frac {d^{2}y}{(dx)^{2}}}\,

Pengertian Turunan Fungsi

Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh seorang Ilmuan Ahli matematika dan Fisika berkebangsaan inggris yaitu Sir Isaac Newto (1642 – 1727) dan Ahli matematika bangsa Jerman Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716).

Turunan (diferensial) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah-masalah didalam bidang geometri dan mekanika.

Konsep turunan fungsi secara universal atau menyeluruh banyak sekali digunakan didalam berbagai bidang keilmuan.

Sebut saja dalam bidang ekonomi: digunakan untuk menghitung berupa, biaya total atau total penerimaan.

Dalam bidang biologi: digunakan untuk menghitung laju pertumbuhan organisme

Dalam bidang fisika: digunakan untuk menghitung kepadatan kawat,

Dalam bidangkimia: digunakan untuk menghitung laju pemisahan

Dan dalam bidang geografi dan sosiologi: digunakan untuk menghitung laju pertumbuhan penduduk dan masih banyak lagi.

Rumus Dasar Turunan dari Turunan Fungsi

Aturan-aturan dalam turunan fungsi ialah:

f(x), menjadi f'(x) = 0
Apabila f(x) = x, maka f’(x) = 1
Aturan pangkat : apabila f(x) = xn, maka f’(x) = n X n – 1
Aturan kelipatan konstanta : apabila (kf) (x) = k. f’(x)
Aturan rantai : apabila ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

Rumus-Rumus Turunan Fungsi Al Jabar

Rumus Turunan Fungsi Pangkat

Turunan Fungsi berbentuk pangkat, turunannya dapat menggunakan rumus $f'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ sebagai berikut:

$f'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\frac{(x+h)^n - (x)^n}{h}$

$= \lim \limits_{h \to 0}\frac{\sum^n_{i=0}C^n_ix^{n-i}h^i-x^n}{h}$

$= \lim_{h \to 0}\frac{C^n_0x^n+C^n_1x^{n-1}h+C^n_2x^{n-2}h^2+\cdots+C^n_nh^n-x^n}{h}$

$= \lim \limits_{h\to0}\frac{x^n+nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n-x^n}{h}$

$= \lim \limits_{h\to0}\frac{nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n}{h}$

$= \lim \limits_{h\to0}(nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1})$

$= nx^{n-1}+0+0+\cdots+0=nx^{n-1}$

Maka, rumus turunan fungsi pangkat ialah:

$f'(x ) = nx^{n-1}$

2. Rumus turunan hasil kali fungsi $f(x) = u(x) \cdot v(x)$

Rumusan Fungsi f(x) turunan yang terbentuk dari perkalian fungsi u(x) dan v(x), adalah:

$f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$\lim \limits_{h\to0}=\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}$

$\lim \limits_{h\to0}=\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)+u(x+h)v(x)-u(x)v(x)}{h}$

$=\lim\limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)]+[u(x+h)v(x)-u(x)v(x)]}{h}$

$= \lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)[v(x+h)-v(x)]}{h}+\lim \limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)}{h}$

$= \lim \limits_{h\to0}u(x+h) \cdot \lim \limits_{h\to0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}+\lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}.\lim_{h\to0}v(x)$

$= u(x+0) \cdot v'(x)+u'(x) \cdot v(x)$

$u'(x).v(x)+u(x).v'(x)\overset{atau}{\rightarrow}u'.v+u.v'$

Maka, rumus turunan fungsinya ialah:

$f'(x)=u'v+uv'$

3. Rumus turunan fungsi pembagian $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$

Rumus turunan fungsi pembagian dapat di tentukan dengan menggunakan rumus

. Rumus turunan fungsi pembagian $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$

Rumus turunan fungsi pembagian dapat di tentukan dengan menggunakan rumus:

$f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\overset{menjadi}{\rightarrow}\lim \limits_{h\to0}\frac{\frac{u(x+h)}{v(x+h)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{h}$

Sehingga,

$f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x+h)}{h \cdot v(x+h)v(x)}$

$=\lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x)-u(x)v(x+h)+u(x)v(x)}{h.v(x+h)v(x)}$

$= \lim \limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)-u(x)[v(x+h)-v(x)]}{h.v(x+h)v(x)}$

$= \lim \limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)}{h \cdot v(x+h)v(x)} - \lim \limits_{h\to0}\frac{u(x)[v(x+h)-v(x)]}{h \cdot v(x+h)v(x)}$ $=\lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}.\lim\limits_{h\to0}\frac{v(x)}{v(x+h)v(x)}- \lim\limits_{h\to0}\frac{u(x)}{v(x+h)v(x)}.\lim\limits_{h\to0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}$

$= u'(x).\frac{v(x)}{v(x+0)v(x)}-\frac{u(x)}{v(x+0)v(x)} \cdot v'(x)$

$=\frac{u'(x)v(x)}{v(x)v(x)}-\frac{u(x)v'(x)}{v(x)v(x)} \rightarrow\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(u(x))^2} \rightarrow \frac{u'v-uv'}{v^2}$

Maka, rumus turunan fungsinya adalah

$f'(x) = \frac{u'v-uv'}{v^2}$

. Rumus-rumus Turunan Trigonometri

Berdasarkan definisi turunan, maka dapat diperoleh rumus-rumus turunan trigonometri yakni sebagai berikut: (dengan u dan v masing-masing fungsi dari x), yakni:

$y = \sin x \rightarrow y' = \cos x$

$y = \cos x \rightarrow y' = - \sin x$

$y = \tan x \rightarrow y' = \sec^2 x$

$y = \cot x \rightarrow y' = - \csc^2 x$

$y = \sec x \rightarrow y'$

$y = \csc x \rightarrow - \csc \times \cot x$

$y = \sin^n x y' = n \sin^{n-1} \times \cos x$

$y = \cos^nx \rightarrow y' = -n \cos^{n-1} \times \sin x$

$y = \sin u \rightarrow y' = u' \cos u$

$y = \cos u \rightarrow y' = - u' \sin u$

$y = \tan u \rightarrow y' = u' \sec^2 u$

$y = \cot u \rightarrow y' =-u' \csc^2u$

$y = \sec u \rightarrow y' = u' \sec u \tan u$

$y = \csc u \rightarrow y' = -u' \csc u \cot u$

$y = \sin^nu \rightarrow y' = n.u' \sin^{n-1} \cos u$

$y = \cos ^nu \rightarrow y'= -n \cdot u' cos^{n-1}u \cdot \sin u$

Limit fungsi

Limit Fungsi Aljabar

Limit fungsi aljabar adalah salah satu konsep dasar yang ada di dalam kalkulus dan analisis, mengenai kelakuan sebuah fungsi yang mendekati titik masukan tertentu.

Sebuah fungsi memetakan keluaran f(x) untuk masing-masing masukan x. Fungsi tersebut mempunyai limit L pada titik masukan p bila f(x) “dekat” pada L ketika x dekat pada p.

Sehingga dengan sebutan lain, f(x) akan semakin dekat terhadap L pada saat x juga mendekat ke arah p.

Lebih jauh lagi, jika f diterapkan terhadap masing-masing masukan yang cukup dekat pada p, hasilnya merupakan keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan L.

Jika masukan yang dekat pada p ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda maka fungsi f akan disebut tidak mempunyai limit.

Definisi limit telah dirumuskan secara formal sejak abad ke-19.

Konsep Limit Fungsi Aljabar

Limit bisa kita definisikan sebagai menuju suatu batas, sesuatu yang dekat tetapi tidak bisa di raih.

Dalam bahasa matematikanya, kondisi tersebut bisa disebut sebagai limit.

Mengapa harus ada limit? Sebab limit mengungkapkan sebuah fungsi apabila ada batas tertentu didekati.

Mengapa harus didekati? Sebab sebuah fungsi pada umumnya tidak terdefinisi dalam titik-titik tertentu.

Meskipun sebuah fungsi seringkali tidak diartikan pada titik tertentu, tetapi masih bisa dicari tahu berapa nilai yang didekati oleh fungsi tersebut jika titik tertentu semakin didekati yakni dengan limit.

Dalam bahasa matematika, limit ditulis seperti berikut ini:

Artinya, jika x mendekati a tetapi x tidak sama dengan a maka f(x) akan mendekati L. Pendekatan x ke a bisa kita lihat dari dua sisi yakni sisi kiri dan juga sisi kanan atau dengan kata lain x bisa mendekati dari arah kiri dan arah kanan sehingga akan menghasilkan limit kiri dan limit kanan.

Sehingga, dari uraian di atas akan kita peroleh contoh rumus di bawah ini:

Untuk nilai x yang mendekati 1:

Berikut untuk gambar grafiknya:

Melihat dari gambar grafik di atas maka dapat diuraikan menjadi:

Jika x mendekati 1 dari kiri, maka nilai f(x) mendekati 2

Jika x mendekati 1 dari kanan, maka nilai f(x) mendekati 2

Sehingga, jika x mendekati 1, maka nilai dari f(x) akan mendekati 2

Toerema atau Pernyataan

Sebuah fungsi disebut mempunyai limit jika di antara limit kiri dan limit kananya memiliki besar nilai yang sama. Sehingga, jika limit kiri dan limit kanan tidak sama maka nilai limitnya tidak ada.

Definisi dan Teorema Limit. Seperti yang telah diuraikan di atas, limit dalam bahasa umum berarti batas.

Pada saat kita belajar matematika ada beberapa guru yang menyebutkan jika limit adalah suatu pendekatan.

Artian dari limit ini menyebutkan bahwa sebuah fungsi f(x) akan mendekati nilai tertentu apabila x mendekati nilai tertentu.

Pendekatan ini terbatas antara dua bilangan positif yang sangat kecil yang disebut dengan epsilon dan delta.

Hubungan ke-2 bilangan positif kecil ini akan terangkum dalam definisi limit.

Sifat-sifat Limit Fungsi Aljabar

Jika n adalah suatu bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g merupakan suatu fungsi yang memiliki limit di c, maka beberapa sifat di bawah ini akan berlaku.

Macam-macam Metode Penyelesaian Limit Aljabar

Ada beberapa metode atau cara penyelesaian untuk limit aljabar, diantaranya yaitu:

Metode subitusi
Metode pemfaktoran
Metode membagi dengan pangkat tertinggi penyebut
Metode mengalikan dengan faktor sekawan

Berikut akan kami jelaskan metodenya satu per satu. Simak baik-baik ya.

Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar

Terdapat 2 jenis untuk menentukan limit fungsi aljabar, diantaranya yakni:

Bentuk yang pertama:

Serta bentuk yang kedua yaitu:

1. Metode Subsitusi

Metode subsitusi hanya akan mengganti peubah yang mendekati nilai tertentu dengan fungsi aljabarnya.

Sebagai contoh:

Sehingga nilai fungsi limit aljabarnya yaitu:

2. Metode Pemfaktoran

Metode pemfaktoran digunakan apabila metode atau cara subsitusi yang menghasilkan nilai limit tidak bisa terdefinisikan.

Sebagai contoh:

Metode pemfaktoran digunakan dengan cara menentukan faktor persekutuan antara pembilang dan penyebutnya.

Dengan hubungannya terhadap bentuk limit kedua terdapat beberapa metode dalam menentukan nilai limit fungsi aljabar yakni metode atau cara membagi dengan pangkat tertinggi penyebut serta metode mengalikan dengan faktor sekawan.

3. Metode Membagi Pangkat Tertinggi Penyebut

Sebagai contoh:

Tentukanlah nilai limit fungsi aljabar dari limit di bawah ini:

Besar pangkat pembilang serta penyebut dalam soal yakni 2, sehingga,

Sehingga, nilai limit fungsi aljabar tersebut yaitu

Contoh soal 2.

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari limit di bawah ini:

Besar pangkat pembilang dan penyebut dalam soal adalah 3, sehingga,

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut adalah:

4. Metode Mengalikan Dengan Faktor Sekawan

Metode ini dipakai apabila dalam metode substitusi akan langsung menghasilkan nilai limit yang irasional.

Fungsi akan dikalikan dengan akar sekawannya supaya bentuk limit tersebut tidak irasional, sehingga dapat dilakukan kembali substitusi langsung nilai x → c .

Sebagai Contoh:

Limit Fungsi Aljabar Tak Hingga

Dalam pengoprasian limit fungsi aljabar, terkadang juga terdapa nilai x yang mendekati tak berhingga (∞).

Maka dari itu, apabila disubstitusikan fungsinya akan menghasilkan nilai yang tidak menentu.

Dalam pengoperasian limitnya, ada beberapa hukum atau teorema limit yang perlu kalian perhatikan. Apabila n merupakan bilangan bulat, k konstanta, fungsi f dan fungsi g merupakan fungsi-fungsi yang mempunyai nilai limit yang mendekati bilangan c, maka:

Dan terdapat dua metode dalam menyelesaikan limit fungsi aljabar bentuk tak berhingga, antara lain:

1. Membagi dengan pangkat tertinggi

Metode ini dipakai dalam limit fungsi bentuk

Cara atau metode ini bisa dilakukan dengan cara membagi pembilang f(x) dan penyebut g(x) dengan variabel xn berpangkat tertinggi yang terdapa di dalam fungsi f(x) dan g(x). Dan kemudian, baru bisa kita substitusikan dengan x → ∞.

Sebagai contoh:

2. Mengalikan bentuk sekawan

Metode ini dipakai pada limit fungsi bentuk

. Metode atau cara ini bisa diselesaikan dengan perkalian bentuk sekawan, yaitu:

Lalu dilanjutkan dengan pembagian dengan metode pertama yakni membagi dengan pangkat tertinggi.

Sebagai contoh:

Berikutnya pembilang dan penyebut dibagi pada x pangkat tertinggi yakni x1:

Limit Fungsi Trigonometri

Limit juga bisa dipakai dalam fungsi trigonometri. Penyelesaiannya sama dengan fungsi limit aljabar. Tetapi, supaya paham mengenai penjalasan selanjutnya kalian harus mengerti terlebih dahulu konsep dari trigonometri.

Penyelesaian dalam limit fungsi ini pada trigonometri dapat digunakan dengan cara melakukan beberapa perubahan bentuk sinus, cosinus, dan tangen.

Terdapat tiga bentuk umum dalam limit fungsi trigonometri, diantaranya adalah:

1. Bentuk

Dalam bentuk ini, limit dari fungsi trigonometri f(x) adalah hasil dari substitusi nilai c ke dalam x dari trigonometri.

Sebagai contoh:

Apabila c = 0, maka rumus limit-limit trigonometrinya yaitu seperti berikut ini:

2. Bentuk

Dalam bentuk ini, limit akan didapatkan dari perbandingan 2 trigonometri berbeda.

Kedua trigonometri tersebut apabila langsung disubstitusi dengan nilai c, maka akan menghasilkan f(c) = 0 dan g(c) = 0.

Sehingga, nilai limit trigonometri itu menjadi bilangan tak tentu $\frac{0}{0}$ . Penyelesaiannya sama dengan yang ada pada limit fungsi aljabar yakni pemfaktoran.

Contoh bentuk ini yakni:

3. Bentuk

Dalam bentuk ini, limit didapatkan dari perbandingan antara trigonometri dan fungsi aljabar.

Apabila disubstitusikan langsung akan menghaslikan bilangan tak tentu. Dalam bentuk ini dikerjakan dengan konsep turunan. Bentuk rumus dasar limit ini yaitu:

Berdasarkan pada rumus dasar di ataas, apabila dikembangkan lagi akan menjadi rumus-rumus seperti di bawah ini:

Kamis, 10 Oktober 2019

Baris dan deret

Pada kesempatan kali ini kita akan membahas tentang rumus deret aritmatika dan pada pembahasan sebelumnya kita telah membahas soal rumus geometri. Rumus aritmatika atau bisa di sebut juga dengan barisan aritmatika di bagi menjadi beberapa macam yang pertama adalah rumus aritmatika bertingkat, sosial, sn, tingkat 2, aritmatika suku ke – n.

Pada barisan aritmatika, susunan dari bilangan nya di bentuk di antara satu bilangan ke bilangan yang berikut nya yang memiliki perbedaan yang sama. Namun beda sendiri dapat di artikan sebagai selisih antara 2 suku yang saling berurutan.

Dan jika suatu barisan mempunyai beda lebih dari nol ( b > 0 ) maka barisan aritmatika nya di sebut dengan barisan naik. Dan sebalik nya jika beda nya kurang dari nol ( b < 0 ) maka barisan aritmatika nya di sebut dengan barisan turunan, untuk lebih jelas nya mari kita semua bisa simak penjelasan nya lebih lanjut pada pembahasan berikut .

Rumus Deret Aritmatika

Barisan dari aritmatika dapat di artikan yang artinya adalah susunan bilangan yang real dan membentuk pola tertentu. Kemudian arti dari deret aritmatika sendiri iyalah sebuah penjumlahan dari barisan aritmatika. Dan ciri – ciri umum nya dari barisan aritmatika yaitu mempunyai beda yang sama dari satu bilangan ke bilangan yang berikut nya. Contoh dari barisan aritmatika ialah seperti di bawah ini :

2 , 10 , 18 , 26 , 34 , 42 …..dan seterus nya

Dan barisan di atas mempunyai nilai beda yaitu 8 ( b = 8 ). Selanjut nya akan kita bahas lebih dalam lagi soal rumus, barisan, dan deret dari aritmatika.

Barisan Aritmatika

Baris aritmatika => a a + b a + 2b … a + ( n – 1 ) b

Beda => +b +b

Pengertian dari barisan artimatika sendiri iyalah sebuah barisan dengan selisih antara 2 suku yang berurutan selalu tetap. Dan selisih antara 2 suku yang berurutan pada barisan aritmatika ini di sebut dengan beda ( b ). Dan rumus untuk menentukan beda pada suatu barisan di aritmatika yaitu seperti contoh di bawah ini.

b = Un – Un-1

beda nya adalah ( b ), suku ke – n nya adalah ( Un dan Un-1 )

lalu suku ke – n suatu barisan di aritmatika dapat di tentukan dengan sebuah rumus. Dan rumus nya di gambarkan seperti contoh di bawah ini.

Rumus Ke – n

Un = a + ( n – 1 ) b

Keterangan :

a = suku pertama
b = beda
Un = suku ke – n
n = bilangan bulat

Ternyata ada juga rumus yang bisa kita gunakan untuk menentukan suku tengah nya dari sebuah barisan aritmatika. Dan rumus ini di gambar kan seperti contoh di bawah ini :

Rumus Aritmatika Suku Tengah

Ut = 1/2 ( U1 + Un )

Keterangan :

a ( U1 ) = suku pertama
Ut = suku tengah
Un = suku ke – n
n = bilangan bulat

Deret Aritmatika

Barisan aritmatika menyatakan bahwa susunan bilangan nya berurutan u1 , u2 , … , un dengan urutan tertentu. Sedangkan pada deret aritmatika, untuk pembahasannya adalah mengenai jumlah suku – suku berurutan tersebut. Untuk contoh bentuk umum dari deret aritmetika adalah seperti di bawah ini.

U1 + U2 + U3 + … + Un

Dengan u1 , u2 , … , un merupakan barisan dari aritmetika.

Untuk rumus nya bisa kalian lihat di bawah ini :

Rumus Penting Deret Aritmatika

Un = Sn – Sn – 1Sn = n/2 ( a + Un )
Sn = n/2 ( 2a + ( n – 1 ) b )

Contoh Soal Aritmatika

Di ketahui suatu barisan 5, -2, -9, -16,…., maka tentukanlah rumus suku ke – n nya?

Jawab :

Selisih 2 suku berurutan pada barisan 5, -2, -9, -16,… adalah tetap, yakni b = -7 sehingga barisan bilangan nya di sebut dengan barisan aritmatika.

Rumus suku ke – n barisan aritmatika tersebut ialah :

Un = a + ( n – 1 ) b
Un = 5 + ( n – 1 ) ( -7 )
Un = 5 – 7n + 7
Un = 12 – 7n

Itulah penjelasan lengkap tentang rumus barisan aritmatika dan deret aritmatika beserta contoh soal dan cara penggunaan dari rumus nya baik itu barisan aritmatika maupun barisan aritmatika semoga bermanfaat…

Jumat, 18 Oktober 2019

Turunan fungsi

Pengertian Turunan dan Turunan Fungsi

Pengertian Turunan

Pengertian Turunan Fungsi

Rumus Dasar Turunan dari Turunan Fungsi

Rumus-Rumus Turunan Fungsi Al Jabar

Rumus Turunan Fungsi Pangkat

2. Rumus turunan hasil kali fungsi

3. Rumus turunan fungsi pembagian

. Rumus turunan fungsi pembagian

. Rumus-rumus Turunan Trigonometri

Berdasarkan definisi turunan, maka dapat diperoleh rumus-rumus turunan trigonometri yakni sebagai berikut: (dengan u dan v masing-masing fungsi dari x), yakni:

Limit fungsi

Limit Fungsi Aljabar

Konsep Limit Fungsi Aljabar

Toerema atau Pernyataan

Sifat-sifat Limit Fungsi Aljabar

Macam-macam Metode Penyelesaian Limit Aljabar

Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar

1. Metode Subsitusi

2. Metode Pemfaktoran

3. Metode Membagi Pangkat Tertinggi Penyebut

4. Metode Mengalikan Dengan Faktor Sekawan

Limit Fungsi Aljabar Tak Hingga

1. Membagi dengan pangkat tertinggi

2. Mengalikan bentuk sekawan

Limit Fungsi Trigonometri

Kamis, 10 Oktober 2019

Baris dan deret

Rumus Deret Aritmatika

2 , 10 , 18 , 26 , 34 , 42 …..dan seterus nya

Barisan Aritmatika

b = Un – Un-1

Rumus Ke – n

Un = a + ( n – 1 ) b

Rumus Aritmatika Suku Tengah

Ut = 1/2 ( U1 + Un )

Deret Aritmatika

U1 + U2 + U3 + … + Un

Rumus Penting Deret Aritmatika

Un = Sn – Sn – 1Sn = n/2 ( a + Un )Sn = n/2 ( 2a + ( n – 1 ) b )

Contoh Soal Aritmatika

2. Rumus turunan hasil kali fungsi $f(x) = u(x) \cdot v(x)$

3. Rumus turunan fungsi pembagian $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$

. Rumus turunan fungsi pembagian $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$

Un = Sn – Sn – 1Sn = n/2 ( a + Un )
Sn = n/2 ( 2a + ( n – 1 ) b )