Sabtu, 19 Oktober 2019

turunan fungsi lebih dari { tugas 6 }

TURUNAN FUNGSI DUA VARIABEL

 

° Turunan Parsial.

Diketahui   z = f(x,y) fungsi  dengan dua variabel independen x dan y.  Karena  x dan y independen maka :
                1.  x  berubah-ubah sedangkan y tertentu.
                2 . y  berubah-ubah sedangkan x tertentu. 


Definisi

a. Turunan parsial terhadap variabel x
                     Jika  x  berubah-ubah  dan y  tertentu maka  z  merupakan fungsi x, Turunan parsial  z = f(x,y) terhadap x  sbb :








ii) Turunan parsial terhadap variabel y

      Jika  y  berubah-ubah  dan x  tertentu maka  z  merupakan fungsi
      y,  Turunan parsial  z = f(x,y) terhadap y  sbb :









a.       Fungsi dua peubah atau lebih

            Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit.  Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk z = F(x,y). Sebaliknya jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit, secara umum  ditulis dalam bentuk F(x,y,z) = 0.
Contoh:
1.      z = 2x + y

2.      xy + xz – yz = 0


a.      Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Peubah

            Misal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y. Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu:

  1. y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah.
  2. x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah
  3. x dan y berubah bersama-sama sekaligus.
            Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial.
Definisi
Misal z = F(x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan 
 dan










Untuk memudahkan persoalan andaikan z = F(x,y) maka untuk menentukan  sama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya y diturunkan. Demikian pula untuk menentukan  sama artinya dengan menurukan variable y dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan.

            Dengan cara yang sama, andaikan W = F(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan , dan yang secara berturut didefinisikan oleh:












. Differensial Total dan Turunan Total

membentuk turunan parsial  dan  ,perubahan  dan  ditinjau berasingan.sekarang kita tinjau pengaruh perubahan x dan y bersama-sama. Dalam Persamaan linier dari  dan berbentuk  disebut diferensial total dari z dititik 9( x,y) dan dinyatakan oleh dz :
dz =
 jika z = f (x,y)mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di D ,maka z mempunyai diferensial total :
dz =  disetiap titik (x,y) dari D
Untuk fungsi dari variabel atau lebih ,misalnya w = f ( x, y ,u ,v ) maka :
dw =
 Contoh
1.      tentukan dw  jika w =  !
penyelesaian :
dw =  dx +  dy -  dz
2.      radius dan tinggi sebuah silinder  lingkaran yang tegak diukur sebagai 4 dan 10 cm ,dengan kemungkinan kesalahan pengukuran  .gunakan diferensial  total untuk menaksir kesalahn maksimum dalam volume yang diukur.
Penyelesaian :
Diketahui : v =
r= 4 cm
h=10 cm
dr=dh =  0,05 cm
ditanya : dv = ?
jawab :
dv =  dr +  dh           
dv = 2  +  dh
subsitusikan r = 4 ,h = 10 cm  dan dr =dh = sehingga menghasilkan  dv =2  (40) (  (
=

Misal z = F(x,y), dan fungsi tersebut dapat diturunkan terhadap variable x dan y, maka diperoleh turuna parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y yang secara berturut-turut dinotasikan dengan.

Turunan Parsial Fungsi Implisit
Fungsi Implisit 4 Peubah
BU dinyatakan dengan






Atau ditulis dalam bentuk
F(x,y,u,v) = 0 dan G(x,y,u,v) = 0
dengan x,y variable berpasangan dan u,v variabel berpasangan dan F(x,y,u,v) = 0 serta G(x,y,u,v) = 0 tidak dapat berdiri sendiri.

Diposting oleh di Tidak ada komentar:

turunan fungsi satu variabel {tugas 5}


Definisi
 
Turunan dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalahkecepatan sesaat objek tersebut. Proses dalam menemukan turunan disebut
                 diferensial dengan derivatif.jpg
diferensi
Jika kita mengatakan bahwa “turunan dari adalah  maka pernyataan itu BENAR karna .Tapi, akan SALAH jika turunan disamakan dengan diferensial. Jika kita mengatakan bahwa “diferensial dari adalah , Maka pernyataan itu akan salah.
Kalau ingin betulnya, harus seperti ini: “diferensial dari  adalah  dikalikan dengandiferensial x” atau dapat ditulis begini: 
Turunan fungsi f yang dinotasikan sebagai f', merupakan sebuah fungsi yang nilainya pada sebarang nilai x:3cd7e662-5f7a-436f-8225-0a719f8ebda4.png
Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Aljabar

Jika u(x) dan v(x) adalah fungsi-fungsi yang terdefinisi pada bilangan real, dan u'(x) dan v'(x) adalah turunannya, maka kita dapat menurunkan rumus turunan hasil kali, hasil bagi dua fungsi dan pemangkatan fungsi, yakni sebagai berikut:

Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Aljabar
Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Aljabar 1Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Aljabar 2


Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:
1. Tentukanlah turunan dari setiap fungsi aljabar berikut
(a) f(x) = (x2 – 4x)(2x + 3)
(b) f(x) = (2x2 + 3x – 5)(4x – 2)
Jawab
(a) f(x) = (x2 – 4x)(2x + 3)
Misalkan
u = x2 – 4x maka u’ = 2x
v = 2x + 3 maka v’ = 2
maka
f ‘(x) = u’.v + u.v’
f ‘(x) = (2x)(2x + 3) + (x2 – 4x)(2)
f ‘(x) = 2x2 + 6x + 2×2 – 8x
f ‘(x) = 4×2 – 2x
(b). f(x) = (2x2 + 3x – 5)(4x – 2)
Misalkan
u = 2x2 + 3x – 5 maka u’ = 4x + 3
v = 4x – 2 maka v’ = 4
maka
f ‘(x) = u’.v + u.v’
f ‘(x) = (4x + 3)(4x – 2) + (2x2 + 3x – 5)(4)
f ‘(x) = 16x2 – 8x + 12x – 6 + 8x2 + 12x – 20
f ‘(x) = 24x2 + 16x – 26

Turunan Fungsi Trigonometri
Rumus dasar turunan fungsi trigonometri adalah turunan fungsi sinus dan kosinus, yang diperoleh dari konsep limit, yakni sebagai berikut:
Jika y = sin x maka y’ = cos x 
Jika y = cos x maka y’ = –sin x

Dari rumus dasar tersebut, diturunkanlah rumus pengembangan, yakni turunan fungsi tangens, cotangens, secan dan cosecan. Proses pengembangan rumus tersebut adalah
Jika y = tan x maka y’ = sec2x
Jika y = cot x maka y’ = – cosec2x
Jika y = sec x maka y’ = sec x . tan x
Jika y = cosec x maka y’ = – cosec x . tan x
Selanjutnya, terdapat rumus pengembangan turunan fungsi trigonometri dengan aturan rantai, yakni sebagai berikut :
Misalkan u(x) adalah fungsi yang terdefinisi pada x bilangan real dan f(u) = sin u, maka untuk y = f [u(x)] diperoleh y’ = f ‘ [u(x)]. u’(x)
y’ = (cos u)(u’)
y’ = u’.cos u
Sehingga dengan cara yang sama dapat disimpulkan bahwa jika u adalah fungsi yang terdefinisi pada bilangan real, maka diperoleh:
Untuk y = sin u maka y’ = u’.cos u
Untuk y = cos u maka y’ = –u’.sin u
Untuk y = tan u maka y’ = u’. sec2u
Untuk y = cot u maka y’ = u’. cosec2u
Untuk y = sec u maka y’ = u’. sec u . tan u
Untuk y = csc u maka y’ = –u’. cosec u . tan u
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut.
Tentukanlah turunan pertama dari setiap fungsi berikut ini :
1. f(x) = cos (3x – 4)
2. f(x) = 3.tan (x2 – 4)
Jawab
1. f(x) = cos (3x – 4)
Maka
f ’(x) = (3)(–sin(3x – 4))
f ’(x) = –3.sin(3x – 4)
2. f(x) = 3.tan (x2 – 4)
Maka
f ’(x) = (2x)(3)sec2 (x2 – 4)
f ’(x) = 2x sec2 (x2 – 4)

Diposting oleh di Tidak ada komentar:

Jumat, 18 Oktober 2019

Fungsi implisit { tugas 7}

Definisi Turunan Fungsi Implisit


Turunan fungsi Implisit – Apa yang dimaksud fungsi implisit ? yaitu fungsi yang memuat dua variabel  atau lebih,  variabel-variabel tersebut terdiri dari variabel bebas dan variabel tidak bebas, biasanya variabel-variabel tersebut dinyatakan dalam x dan y dimana variabel x dan y terletak didalam satu ruas sehingga tidak dapat dipisahkan menjadi ruas yang berbeda (baca : ruas kiri dan ruas kanan) seperti halnya fungsi eksplisit.

Turunan Fungsi Implisit  Serta bentuk umum nya

Secara umum bentuk  turunan fungsi implisit  adalah f(x,y) = 0, mencari turunan fungsi implisit sama dengan mencari solusi bentuk umumnya dan prinsipnya tidak jauh berbeda dengan mencari turunan fungsi biasa.
Untuk lebih jelasnya Perhatikan contoh-contoh soal dibawah ini, bagaimana mencari turunan fungsi implisit.

Contoh Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Implisit

Tentukan   dari setiap fungsi Implisit dibawah ini!


[Penyelesaian]
Turunkanlah kedua ruas terhadap x,


[Penyelesaian]
Turunkanlah kedua ruas terhadap x,
http://soulmath4u.blogspot.com/2014/02/turunan-fungsi-implisit.html




[penyelesaian]
Turunkanlah kedua ruas terhadap x
http://soulmath4u.blogspot.com/2014/02/turunan-fungsi-implisit.html




[Penyelesaian]
Turunkanlah kedua ruas terhadap x







[Penyelesaian]
Turunkanlah kedua ruas terhadap x


[Penyelesaian]
Turunkanlah kedua ruas terhadap x



[Penyelesaian]
Turunkanlah kedua ruas terhadap x




Diposting oleh di Tidak ada komentar:

Turunan fungsi

Turunan fungsi

Pada dasarnya konsep turunan sering sekali digunakan dalam kehidupan sehari-hari, baik dalam ilmu matematika atau ilmu yang  lainnya. Kegunaan tersebut yang sering kita ketahui ialah menghitung garis singgung suatu kurva atau fungsi dan kecepatan. Selain itu juga, konsep turunan ini juga sering digunakan untuk laju pertumbuhan organisme (biologi), keuntungan marjinal (ekonomi), kepadatan kawat (fisika) dan laju pemissahan (kimia). Kegunaan itu semua pada dasarnya memiliki konsep yang sama yaitu konsep turunan. Untuk lebih jelasnya, yuk kita simak penjelasan dibawah berikut ini:

Pengertian Turunan dan Turunan Fungsi

Pengertian Turunan

Turunan atau Deriviatif ialah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input.
Secara umum, turunan menyatakan bagaimanakah suatu besaran berubah akibat perubahan besaran yang lainnya, Contohnya: turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu ialah kecepatan sesaat oleh objek tersebut.
Proses dalam menemukan sebuah turunan disebut diferensiasi. Dan kebalikan dari sebuah turunan disebut dengan Anti Turunan. Teorema fundamental kalkulus mengatakan bahwa antiturunan yaitu sama dengan integrasi. Turunan dan integral ialah 2 fungsi penting dalam kalkulus.
  • {\displaystyle (\ln x)'={\frac {1}{x}}\,}
  • {\displaystyle (\sin x)'=\cos x\,}
  • {\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\,}
  • {\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x\,}
  • {\displaystyle y'} Ialah simbol untuk turunan pertama.
  • {\displaystyle y''} Ialah simbol untuk turunan kedua.
  • {\displaystyle y'''} Ialah simbol untuk turunan ketiga.

Simbol yang lainnya selain {\displaystyle y'\,} dan {\displaystyle y''\,} ialah {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,} dan{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{(dx)^{2}}}\,}.

Pengertian Turunan Fungsi

Turunan Fungsi (diferensial) ialah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalkan fungsi f menjadi f’ yang memiliki nilai tidak beraturan.
Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh seorang Ilmuan Ahli matematika dan Fisika berkebangsaan inggris yaitu Sir Isaac Newto (1642 – 1727) dan Ahli matematika bangsa Jerman Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716).
Turunan (diferensial) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah-masalah didalam bidang geometri dan mekanika.
Konsep turunan fungsi secara universal atau menyeluruh banyak sekali digunakan didalam berbagai bidang keilmuan.
Sebut saja dalam bidang ekonomi: digunakan untuk menghitung berupa, biaya total atau total penerimaan.
Dalam bidang biologi: digunakan untuk menghitung laju pertumbuhan organisme
Dalam bidang fisika: digunakan untuk menghitung kepadatan kawat,
Dalam bidangkimia: digunakan untuk menghitung laju pemisahan
Dan dalam bidang geografi dan sosiologi: digunakan untuk menghitung laju pertumbuhan penduduk dan masih banyak lagi.

Rumus Dasar Turunan dari Turunan Fungsi

Aturan-aturan dalam turunan fungsi ialah:
  1. f(x), menjadi f'(x) = 0
  2. Apabila f(x) = x, maka f’(x) = 1
  3. Aturan pangkat : apabila f(x) = xn, maka f’(x) = n X n – 1
  4. Aturan kelipatan konstanta : apabila (kf) (x) = k. f’(x)
  5. Aturan rantai : apabila ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

Rumus-Rumus Turunan Fungsi Al Jabar

  1. Rumus Turunan Fungsi Pangkat

Turunan Fungsi berbentuk pangkat, turunannya dapat menggunakan rumus f'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} sebagai berikut:
f'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\frac{(x+h)^n - (x)^n}{h}
= \lim \limits_{h \to 0}\frac{\sum^n_{i=0}C^n_ix^{n-i}h^i-x^n}{h}
= \lim_{h \to 0}\frac{C^n_0x^n+C^n_1x^{n-1}h+C^n_2x^{n-2}h^2+\cdots+C^n_nh^n-x^n}{h}
= \lim \limits_{h\to0}\frac{x^n+nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n-x^n}{h}
= \lim \limits_{h\to0}\frac{nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n}{h}
= \lim \limits_{h\to0}(nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1})
= nx^{n-1}+0+0+\cdots+0=nx^{n-1}
Maka, rumus turunan fungsi pangkat ialah:
f'(x ) = nx^{n-1}

2.  Rumus turunan hasil kali fungsi f(x) = u(x) \cdot v(x)

Rumusan Fungsi f(x) turunan yang terbentuk dari perkalian fungsi u(x) dan v(x), adalah:
f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\lim \limits_{h\to0}=\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}
\lim \limits_{h\to0}=\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)+u(x+h)v(x)-u(x)v(x)}{h}
=\lim\limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)]+[u(x+h)v(x)-u(x)v(x)]}{h}
= \lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)[v(x+h)-v(x)]}{h}+\lim \limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)}{h}
= \lim \limits_{h\to0}u(x+h) \cdot \lim \limits_{h\to0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}+\lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}.\lim_{h\to0}v(x)
= u(x+0) \cdot v'(x)+u'(x) \cdot v(x)
u'(x).v(x)+u(x).v'(x)\overset{atau}{\rightarrow}u'.v+u.v'
Maka, rumus turunan fungsinya ialah:
f'(x)=u'v+uv'

3. Rumus turunan fungsi pembagian f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}

Rumus turunan fungsi pembagian dapat di tentukan dengan menggunakan rumus

. Rumus turunan fungsi pembagian f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}

Rumus turunan fungsi pembagian dapat di tentukan dengan menggunakan rumus:
f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\overset{menjadi}{\rightarrow}\lim \limits_{h\to0}\frac{\frac{u(x+h)}{v(x+h)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{h}
Sehingga,
f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x+h)}{h \cdot v(x+h)v(x)}
=\lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x)-u(x)v(x+h)+u(x)v(x)}{h.v(x+h)v(x)}
= \lim \limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)-u(x)[v(x+h)-v(x)]}{h.v(x+h)v(x)}
= \lim \limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)}{h \cdot v(x+h)v(x)} - \lim \limits_{h\to0}\frac{u(x)[v(x+h)-v(x)]}{h \cdot v(x+h)v(x)}=\lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}.\lim\limits_{h\to0}\frac{v(x)}{v(x+h)v(x)}- \lim\limits_{h\to0}\frac{u(x)}{v(x+h)v(x)}.\lim\limits_{h\to0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}
= u'(x).\frac{v(x)}{v(x+0)v(x)}-\frac{u(x)}{v(x+0)v(x)} \cdot v'(x)
=\frac{u'(x)v(x)}{v(x)v(x)}-\frac{u(x)v'(x)}{v(x)v(x)} \rightarrow\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(u(x))^2} \rightarrow \frac{u'v-uv'}{v^2}
Maka, rumus turunan fungsinya adalah
f'(x) = \frac{u'v-uv'}{v^2}

. Rumus-rumus Turunan Trigonometri

Berdasarkan definisi turunan, maka dapat diperoleh rumus-rumus turunan trigonometri yakni sebagai berikut: (dengan u dan v masing-masing fungsi dari x), yakni:
  1. y = \sin x \rightarrow y' = \cos x
  2. y = \cos x \rightarrow y' = - \sin x
  3. y = \tan x \rightarrow y' = \sec^2 x
  4. y = \cot x \rightarrow y' = - \csc^2 x
  5. y = \sec x \rightarrow y'
  6. y = \csc x \rightarrow - \csc \times \cot x
  7. y = \sin^n x y' = n \sin^{n-1} \times \cos x
  8. y = \cos^nx \rightarrow y' = -n \cos^{n-1} \times \sin x
  9. y = \sin u \rightarrow y' = u' \cos u
  10. y = \cos u \rightarrow y' = - u' \sin u
  11. y = \tan u \rightarrow y' = u' \sec^2 u
  12. y = \cot u \rightarrow y' =-u' \csc^2u
  13. y = \sec u \rightarrow y' = u' \sec u \tan u
  14. y = \csc u \rightarrow y' = -u' \csc u \cot u
  15. y = \sin^nu \rightarrow y' = n.u' \sin^{n-1} \cos u
  16. y = \cos ^nu \rightarrow y'= -n \cdot u' cos^{n-1}u \cdot \sin u

Diposting oleh di Tidak ada komentar:
Langganan: Postingan (Atom)