turunan fungsi satu variabel {tugas 5}

Definisi

 
Turunan dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalahkecepatan sesaat objek tersebut. Proses dalam menemukan turunan disebut

                 

diferensi
Jika kita mengatakan bahwa “turunan dari adalah  maka pernyataan itu BENAR karna .Tapi, akan SALAH jika turunan disamakan dengan diferensial. Jika kita mengatakan bahwa “diferensial dari adalah , Maka pernyataan itu akan salah.
Kalau ingin betulnya, harus seperti ini: “diferensial dari  adalah  dikalikan dengandiferensial x” atau dapat ditulis begini: 

Turunan fungsi  yang dinotasikan sebagai , merupakan sebuah fungsi yang nilainya pada sebarang nilai x:

Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Aljabar

Jika u(x) dan v(x) adalah fungsi-fungsi yang terdefinisi pada bilangan real, dan u'(x) dan v'(x) adalah turunannya, maka kita dapat menurunkan rumus turunan hasil kali, hasil bagi dua fungsi dan pemangkatan fungsi, yakni sebagai berikut:

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:

1. Tentukanlah turunan dari setiap fungsi aljabar berikut

(a) f(x) = (x2 – 4x)(2x + 3)
(b) f(x) = (2x2 + 3x – 5)(4x – 2)
Jawab
(a) f(x) = (x2 – 4x)(2x + 3)

Misalkan
u = x2 – 4x maka u’ = 2x
v = 2x + 3 maka v’ = 2

maka
f ‘(x) = u’.v + u.v’
f ‘(x) = (2x)(2x + 3) + (x2 – 4x)(2)
f ‘(x) = 2x2 + 6x + 2×2 – 8x
f ‘(x) = 4×2 – 2x

(b). f(x) = (2x2 + 3x – 5)(4x – 2)

Misalkan
u = 2x2 + 3x – 5 maka u’ = 4x + 3
v = 4x – 2 maka v’ = 4

maka
f ‘(x) = u’.v + u.v’
f ‘(x) = (4x + 3)(4x – 2) + (2x2 + 3x – 5)(4)
f ‘(x) = 16x2 – 8x + 12x – 6 + 8x2 + 12x – 20
f ‘(x) = 24x2 + 16x – 26

Turunan Fungsi Trigonometri

Rumus dasar turunan fungsi trigonometri adalah turunan fungsi sinus dan kosinus, yang diperoleh dari konsep limit, yakni sebagai berikut:
Jika y = sin x maka y’ = cos x 
Jika y = cos x maka y’ = –sin x

Dari rumus dasar tersebut, diturunkanlah rumus pengembangan, yakni turunan fungsi tangens, cotangens, secan dan cosecan. Proses pengembangan rumus tersebut adalah
Jika y = tan x maka y’ = sec2x
Jika y = cot x maka y’ = – cosec2x
Jika y = sec x maka y’ = sec x . tan x
Jika y = cosec x maka y’ = – cosec x . tan x
Selanjutnya, terdapat rumus pengembangan turunan fungsi trigonometri dengan aturan rantai, yakni sebagai berikut :

Misalkan u(x) adalah fungsi yang terdefinisi pada x bilangan real dan f(u) = sin u, maka untuk y = f [u(x)] diperoleh y’ = f ‘ [u(x)]. u’(x)
y’ = (cos u)(u’)
y’ = u’.cos u

Sehingga dengan cara yang sama dapat disimpulkan bahwa jika u adalah fungsi yang terdefinisi pada bilangan real, maka diperoleh:
Untuk y = sin u maka y’ = u’.cos u
Untuk y = cos u maka y’ = –u’.sin u
Untuk y = tan u maka y’ = u’. sec2u
Untuk y = cot u maka y’ = u’. cosec2u
Untuk y = sec u maka y’ = u’. sec u . tan u
Untuk y = csc u maka y’ = –u’. cosec u . tan u
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut.

Tentukanlah turunan pertama dari setiap fungsi berikut ini :
1. f(x) = cos (3x – 4)
2. f(x) = 3.tan (x2 – 4)

Jawab

1. f(x) = cos (3x – 4)

Maka
f ’(x) = (3)(–sin(3x – 4))
f ’(x) = –3.sin(3x – 4)

2. f(x) = 3.tan (x2 – 4)

Maka
f ’(x) = (2x)(3)sec2 (x2 – 4)
f ’(x) = 2x sec2 (x2 – 4)