Elemen, Bilangan dan Himpunan : Desember 2019

ntegral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan bersama dengan inversnya, diferensiasi, adalah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah

\int \,

Bila diberikan suatu fungsi f dari variabel real x dengan interval [a, b] dari sebuah garis lurus, maka integral tertentu

\int _{a}^{b}\!f(x)\,dx\,

didefinisikan sebagai area yang dibatasi oleh kurva f, sumbu-x, sumbu-y dan garis vertikal x = a dan x = b, dengan area yang berada di atas sumbu-x bernilai positif dan area di bawah sumbu-x bernilai negatif.

Kata integral juga dapat digunakan untuk merujuk pada antiturunan, sebuah fungsi F yang turunannya adalah fungsi f. Pada kasus ini, maka disebut sebagai integral tak tentu dan notasinya ditulis sebagai:

F=\int f(x)\,dx.

Prinsip-prinsip dan teknik integrasi dikembangkan terpisah oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz pada akhir abad ke-17. Melalui teorema fundamental kalkulus yang mereka kembangkan masing-masing, integral terhubung dengan diferensial: jika f adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup [a, b], maka, jika antiturunan F dari f diketahui, maka integral tertentu dari f pada interval tersebut dapat didefinisikan sebagai:

\int _{a}^{b}\!f(x)\,dx=F(b)-F(a)\,

Integral dan diferensial menjadi peranan penting dalam kalkulus, dengan berbagai macam aplikasi pada sains dan teknik

Contoh soal:

Cari nilai dari:

\int {\frac {lnx}{x}}\,dx\,

t=\ln x,dt={\frac {dx}{x}}

\int {\frac {lnx}{x}}\,dx\,=\int t\,dt

={\frac {1}{2}}t^{2}+C

={\frac {1}{2}}ln^{2}x+C

Integral parsial menggunakan rumus sebagai berikut:

Cara 1

\int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx

Contoh soal:

Cari nilai dari:

\int \ln x\,dx\,

$f'(x)=1,f(x)=x,g(x)=lnx,g'(x)={\frac {1}{x}}\,$

Gunakan rumus di atas

\int \ln x\ dx=xlnx-\int x{\frac {1}{x}}\,dx\,

=xlnx-\int 1\,dx\,

=xlnx-x+C\,

Cara 2

Tabel	Turunan	Integral
+	$g(x)$	$\int f'(x)dx$
-	$g'(x)$	$f(x)$
+	$g''(x)$

\int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx

Contoh soal:

Cari nilai dari:

\int \ln x\,dx\,

Tabel	Turunan	Integral
+	$lnx$	$\int 1dx$
-	${\frac {1}{x}}$	$x$
+	$-{\frac {1}{x^{2}}}$	${\frac {1}{2}}x^{2}$

Gunakan rumus di atas

\int \ln x\ dx=xlnx-{\frac {1}{x}}{\frac {1}{2}}x^{2}+C\,

(?)

=xlnx-{\frac {1}{2}}x+C\,

(?)

Bentuk	Gunakan
${\sqrt {a^{2}-b^{2}x^{2}}}\,$	$x={\frac {a}{b}}\sin \alpha \,$
${\sqrt {a^{2}+b^{2}x^{2}}}\,$	$\!\,x={\frac {a}{b}}\tan \alpha \,$
${\sqrt {b^{2}x^{2}-a^{2}}}\,$	$\,x={\frac {a}{b}}\sec \alpha \,$

Contoh soal:

Cari nilai dari:

\int {\frac {dx}{x^{2}{\sqrt {x^{2}+4}}}}\,

x=2\tan A,dx=2\sec ^{2}A\,dA\,

\int {\frac {dx}{x^{2}{\sqrt {x^{2}+4}}}}\,

=\int {\frac {2sec^{2}A\,dA}{(2tanA)^{2}{\sqrt {4+(2tanA)^{2}}}}}\,

=\int {\frac {2sec^{2}A\,dA}{4tan^{2}A{\sqrt {4+4tan^{2}A}}}}\,

=\int {\frac {2sec^{2}A\,dA}{4tan^{2}A{\sqrt {4(1+tan^{2}A)}}}}\,

=\int {\frac {2sec^{2}A\,dA}{4tan^{2}A{\sqrt {4sec^{2}A}}}}\,

=\int {\frac {2sec^{2}A\,dA}{4tan^{2}A.2secA}}\,

=\int {\frac {secA\,dA}{4tan^{2}A}}\,

={\frac {1}{4}}\int {\frac {secA\,dA}{tan^{2}A}}\,

={\frac {1}{4}}\int {\frac {cosA}{sin^{2}A}}\,dA\,

Cari nilai dari:

\int {\frac {cosA}{sin^{2}A}}\,dA\,

dengan menggunakan substitusi

t=sinA,dt=cosA\,dA\,

\int {\frac {cosA}{sin^{2}A}}\,dA\,

=\int {\frac {dt}{t^{2}}}\,

=\int t^{-2}\,dt\,

=-t^{-1}+C=-{\frac {1}{sinA}}+C\,

Masukkan nilai tersebut:

={\frac {1}{4}}\int {\frac {cosA}{sin^{2}A}}\,dA\,

={\frac {1}{4}}.-{\frac {1}{sinA}}+C\,

=-{\frac {1}{4sinA}}+C\,

Nilai sin A adalah

{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+4}}}

=-{\frac {1}{4sinA}}+C\,

=-{\frac {\sqrt {x^{2}+4}}{4x}}+C\,

Contoh soal:

Cari nilai dari:

\int {\frac {dx}{x^{2}-4}}\,

{\frac {1}{x^{2}-4}}={\frac {A}{x+2}}+{\frac {B}{x-2}}\,

={\frac {A(x-2)+B(x+2)}{x^{2}-4}}\,

={\frac {Ax-2A+Bx+2B}{x^{2}-4}}\,

={\frac {(A+B)x-2(A-B)}{x^{2}-4}}\,

Akan diperoleh dua persamaan yaitu

A+B=0\,

dan

A-B=-{\frac {1}{2}}

Dengan menyelesaikan kedua persamaan akan diperoleh hasil

A=-{\frac {1}{4}},B={\frac {1}{4}}\,

\int {\frac {dx}{x^{2}-4}}\,

={\frac {1}{4}}\int ({\frac {1}{x-2}}-{\frac {1}{x+2}})\,dx\,

={\frac {1}{4}}(ln|x-2|-ln|x+2|)+C\,

={\frac {1}{4}}ln|{\frac {x-2}{x+2}}|+C\,

\int x^{n}dx={\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+C\,

; n ≠ -1

\int e^{x}dx=e^{x}+C\,

\int a^{x}dx={\frac {a^{x}}{lna}}+C\,

; a ≠ 1 dan a > 0

\int {\frac {1}{x}}dx=ln|x|+C

\int lnx\,dx=xlnx-x+C=xln\left({\frac {x}{e}}\right)+C

\int \log _{a}(x)\,dx=x\log _{a}(x)-{\frac {x}{\ln(a)}}+C=x\log _{a}\left({\frac {x}{e}}\right)+C

\int \sin x\,dx=-\cos x+C\,

\int \cos x\,dx=\sin x+C\,

\int \tan x\,dx=\ln |\sec x|+C\,

\int \cot x\,dx=-\ln |\csc x|+C\,

\int \sec x\,dx=\ln |\sec x+\tan x|+C\,

\int \csc x\,dx=-\ln |\csc x+\cot x|+C\,

\int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C\,

\int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C\,

\int \tan ^{2}x\,dx=\tan x-x+C\,

\int \cot ^{2}x\,dx=-\cot x-x+C\,

\int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C\,

\int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C\,

\int \sec x\tan x\,dx=\sec x+C\,

\int \csc x\cot x\,dx=-\csc x+C\,

Invers: $\int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=\arcsin x+C\,$; $\int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\arctan x+C\,$; $\int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}\,dx=\operatorname {arcsec} x+C\,$