Elemen, Bilangan dan Himpunan

Minggu, 15 Desember 2019

aplikasi turunan ( garis singgung) tugas 8

Gradien Garis disimbolkan dengan

m

dimana :

gradien pada persamaan garis $y = m x + c$ adalah $m$
gradien pada persamaan garis $a x + b y = c$ adalah $m = - \frac{a}{b}$
gradien jika diketahui dua titik $(x 1, y 1)$ dan $(x 2, y 2)$ adalah $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Gradien dua garis lurus :

yang saling sejajar maka $m_{1} = m_{2}$

yang saling tegak lurus maka $m_{1} . m_{2} = - 1$

Persamaan Garis Lurus :

Jika diketahui satu titik $(x 1, y 1)$ dan gradien $m$ , maka persamaan garisnya : $y - y_{1} = m (x - x_{1})$

Jika diketahui dua titik $(x 1, y 1)$ dan $(x 2, y 2)$ maka persamaan garisnya : $\frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Nah materi dasarnya di atas jangan sampai terlupa yah, sekarang kita masuk materi yang sesungguhnya…hehehe…

Perhatikan Gambar Grafik fungsi

y = f (x)

Kemiringan (gradien) garis singgung kurva

y = f (x)

di titik

A (a, f (a))

adalah

m = f^{'} (a) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (a + Δ x) - f (a)}{Δ x}

Persamaan garis lurus yang melalui titik

(x 1, y 1)

dengan gradien

m

adalah

y - y_{1} = m (x - x_{1})

, sehingga

Persamaan Garis Singgung di titik

(a, f (a))

pada kurva adalah

y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)

ayooo langsung kita praktikkan…

Tentukan persamaan garis singgung kurva $y = x^{2}$ di titik $(- 1, 1)$ !

Jawab :
- cari $m$ dulu di $x = - 1$
  
  $\begin{array}{rcl} ^{} \end{array}$
- maka persamaan garris singgung kurva dengan gradien $m = - 2$ di $(- 1, 1)$ adalah:
  
  $\begin{array}{rcl} _{} & _{} \end{array}$
Tentukan persamaan garis singgung kurva $y = x^{2}$ di titik yang berabsis $(- 2)$ !

Jawab :
- cari m dulu di absis $x = - 2$
  
  $\begin{array}{rcl} ^{} \end{array}$
- Bandingkan dengan soal no.1, disini kita belum punya $y 1$ sehingga kita cari terlebih dulu
  
  $\begin{array}{rcl} ^{} \\ ^{} \\ _{} \end{array}$
- maka persamaan garis singgung kurva dengan gradien $m = - 4$ di $(- 2, 4)$ adalah
  
  $\begin{array}{rcl} _{} & _{} \end{array}$
Tentukan persamaan garis singgung kurva $y = 2 x^{2} - 3 x$ yang sejajar garis $y = x$ !

Jawab :
- cari gradien m dari persamaan garis lurus $y = x$ ingat $y = m x + c$ maka $m = 1$ , diketerangan soal, garis saling sejajar, maka $m 1 = m 2$ = 1
- cari titik singgungnya $(x 1, y 1)$ ingat $m = f^{'} (a)$ maka
  
  $\begin{array}{rcl} ^{} \end{array}$
  $x 1 = 1$ maka kita cari $y 1$ dengan mensubtitusi $x = 1$ ke $y = 2 x^{2} - 3 x$
  
  $\begin{array}{rcl} ^{} \\ ^{} \end{array}$
- maka persamaan garis singgung kurva dengan gradien $m = 1$ di $(1, - 1)$ adalah
  
  $\begin{array}{rcl} _{} & _{} \end{array}$
Tentukan Persamaan garis singgung pada kurva $y = - 2 x^{2} + 6 x + 7$ yang terletak tegak lurus garis $x - 2 y + 13 = 0$ !

Jawab :
- cari gradien m dari persamaan garis lurus $x - 2 y + 13 = 0$
  
  ingat :
  
  $a x + b y = c$ maka $m = - \frac{a}{b}$
  
  untuk $x - 2 y + 13 = 0$ maka $m = - \frac{1}{(- 2)} = \frac{1}{2}$
  
  keterangan soal garis saling tegak lurus, maka $m 1 . m 2 = - 1$
  
  $\begin{aligned} _{}_{} \\ \frac{}{}_{} \\ _{} & \frac{}{} \\ _{} \end{aligned}$
- cari titik singgungnya $(x 1, y 1)$ dengan $m = - 2$
  
  ingat $m = f^{'} (a)$ maka :
  
  $\begin{aligned} ^{} \end{aligned}$
  $x 1 = 2$ maka kita cari $y 1$ dengan mensubtitusi $x = 2$ ke $y = - 2 x^{2} + 6 x + 7$
  
  $\begin{array}{rcl} ^{} \\ ^{} \end{array}$
- maka persamaan garis singgung kurva dengan gradien $m = - 2$ di titik $(2, 11)$ adalah
  
  $\begin{array}{rcl} _{} & _{} \end{array}$

Sabtu, 19 Oktober 2019

turunan fungsi lebih dari { tugas 6 }

TURUNAN FUNGSI DUA VARIABEL

° Turunan Parsial.

Diketahui z = f(x,y) fungsi dengan dua variabel independen x dan y. Karena x dan y independen maka :

1. x berubah-ubah sedangkan y tertentu.

2 . y berubah-ubah sedangkan x tertentu.

Definisi

a. Turunan parsial terhadap variabel x

Jika x berubah-ubah dan y tertentu maka z merupakan fungsi x, Turunan parsial z = f(x,y) terhadap x sbb :

ii) Turunan parsial terhadap variabel y

Jika y berubah-ubah dan x tertentu maka z merupakan fungsi

y, Turunan parsial z = f(x,y) terhadap y sbb :

a. Fungsi dua peubah atau lebih

Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk z = F(x,y). Sebaliknya jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit, secara umum ditulis dalam bentuk F(x,y,z) = 0.

Contoh:

1. z = 2x + y

2. xy + xz – yz = 0

a. Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Peubah

Misal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y. Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu:

y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah.

x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah

x dan y berubah bersama-sama sekaligus.

Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial.

Definisi

Misal z = F(x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan

dan

Untuk memudahkan persoalan andaikan z = F(x,y) maka untuk menentukan sama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya y diturunkan. Demikian pula untuk menentukan sama artinya dengan menurukan variable y dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan.

Dengan cara yang sama, andaikan W = F(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan , dan yang secara berturut didefinisikan oleh:

. Differensial Total dan Turunan Total

membentuk turunan parsial dan ,perubahan dan ditinjau berasingan.sekarang kita tinjau pengaruh perubahan x dan y bersama-sama. Dalam Persamaan linier dari dan berbentuk disebut diferensial total dari z dititik 9( x,y) dan dinyatakan oleh dz :

dz =

jika z = f (x,y)mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di D ,maka z mempunyai diferensial total :

dz = disetiap titik (x,y) dari D

Untuk fungsi dari variabel atau lebih ,misalnya w = f ( x, y ,u ,v ) maka :

dw =

Contoh

1. tentukan dw jika w = !

penyelesaian :

dw = dx + dy - dz

2. radius dan tinggi sebuah silinder lingkaran yang tegak diukur sebagai 4 dan 10 cm ,dengan kemungkinan kesalahan pengukuran .gunakan diferensial total untuk menaksir kesalahn maksimum dalam volume yang diukur.

Penyelesaian :

Diketahui : v =

r= 4 cm

h=10 cm

dr=dh = 0,05 cm

ditanya : dv = ?

jawab :

dv = dr + dh

dv = 2 + dh

subsitusikan r = 4 ,h = 10 cm dan dr =dh = sehingga menghasilkan dv =2 (40) ( (

Misal z = F(x,y), dan fungsi tersebut dapat diturunkan terhadap variable x dan y, maka diperoleh turuna parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y yang secara berturut-turut dinotasikan dengan.

Turunan Parsial Fungsi Implisit

Fungsi Implisit 4 Peubah

BU dinyatakan dengan

Atau ditulis dalam bentuk

F(x,y,u,v) = 0 dan G(x,y,u,v) = 0

dengan x,y variable berpasangan dan u,v variabel berpasangan dan F(x,y,u,v) = 0 serta G(x,y,u,v) = 0 tidak dapat berdiri sendiri.

turunan fungsi satu variabel {tugas 5}

Definisi

Turunan dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalahkecepatan sesaat objek tersebut. Proses dalam menemukan turunan disebut

diferensi
Jika kita mengatakan bahwa “turunan dari

adalah

maka pernyataan itu BENAR karna

.Tapi, akan SALAH jika turunan disamakan dengan diferensial. Jika kita mengatakan bahwa “diferensial dari

adalah

, Maka pernyataan itu akan salah.
Kalau ingin betulnya, harus seperti ini: “diferensial dari

adalah

dikalikan dengandiferensial x” atau dapat ditulis begini:

Turunan fungsi $f$ yang dinotasikan sebagai $f'$ , merupakan sebuah fungsi yang nilainya pada sebarang nilai x:

Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Aljabar

Jika u(x) dan v(x) adalah fungsi-fungsi yang terdefinisi pada bilangan real, dan u'(x) dan v'(x) adalah turunannya, maka kita dapat menurunkan rumus turunan hasil kali, hasil bagi dua fungsi dan pemangkatan fungsi, yakni sebagai berikut:

Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Aljabar 1

Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Aljabar 2

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:

1. Tentukanlah turunan dari setiap fungsi aljabar berikut

(a) f(x) = (x2 – 4x)(2x + 3)
(b) f(x) = (2x2 + 3x – 5)(4x – 2)
Jawab
(a) f(x) = (x2 – 4x)(2x + 3)

Misalkan
u = x2 – 4x maka u’ = 2x
v = 2x + 3 maka v’ = 2

maka
f ‘(x) = u’.v + u.v’
f ‘(x) = (2x)(2x + 3) + (x2 – 4x)(2)
f ‘(x) = 2x2 + 6x + 2×2 – 8x
f ‘(x) = 4×2 – 2x

(b). f(x) = (2x2 + 3x – 5)(4x – 2)

Misalkan
u = 2x2 + 3x – 5 maka u’ = 4x + 3
v = 4x – 2 maka v’ = 4

maka
f ‘(x) = u’.v + u.v’
f ‘(x) = (4x + 3)(4x – 2) + (2x2 + 3x – 5)(4)
f ‘(x) = 16x2 – 8x + 12x – 6 + 8x2 + 12x – 20
f ‘(x) = 24x2 + 16x – 26

Turunan Fungsi Trigonometri

Rumus dasar turunan fungsi trigonometri adalah turunan fungsi sinus dan kosinus, yang diperoleh dari konsep limit, yakni sebagai berikut:
Jika y = sin x maka y’ = cos x
Jika y = cos x maka y’ = –sin x

Dari rumus dasar tersebut, diturunkanlah rumus pengembangan, yakni turunan fungsi tangens, cotangens, secan dan cosecan. Proses pengembangan rumus tersebut adalah
Jika y = tan x maka y’ = sec2x
Jika y = cot x maka y’ = – cosec2x
Jika y = sec x maka y’ = sec x . tan x
Jika y = cosec x maka y’ = – cosec x . tan x
Selanjutnya, terdapat rumus pengembangan turunan fungsi trigonometri dengan aturan rantai, yakni sebagai berikut :

Misalkan u(x) adalah fungsi yang terdefinisi pada x bilangan real dan f(u) = sin u, maka untuk y = f [u(x)] diperoleh y’ = f ‘ [u(x)]. u’(x)
y’ = (cos u)(u’)
y’ = u’.cos u

Sehingga dengan cara yang sama dapat disimpulkan bahwa jika u adalah fungsi yang terdefinisi pada bilangan real, maka diperoleh:
Untuk y = sin u maka y’ = u’.cos u
Untuk y = cos u maka y’ = –u’.sin u
Untuk y = tan u maka y’ = u’. sec2u
Untuk y = cot u maka y’ = u’. cosec2u
Untuk y = sec u maka y’ = u’. sec u . tan u
Untuk y = csc u maka y’ = –u’. cosec u . tan u
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut.

Tentukanlah turunan pertama dari setiap fungsi berikut ini :
1. f(x) = cos (3x – 4)
2. f(x) = 3.tan (x2 – 4)

Jawab

1. f(x) = cos (3x – 4)

Maka
f ’(x) = (3)(–sin(3x – 4))
f ’(x) = –3.sin(3x – 4)

2. f(x) = 3.tan (x2 – 4)

Maka
f ’(x) = (2x)(3)sec2 (x2 – 4)
f ’(x) = 2x sec2 (x2 – 4)

Jumat, 18 Oktober 2019

Fungsi implisit { tugas 7}

Definisi Turunan Fungsi Implisit

Turunan fungsi Implisit – Apa yang dimaksud fungsi implisit ? yaitu fungsi yang memuat dua variabel atau lebih, variabel-variabel tersebut terdiri dari variabel bebas dan variabel tidak bebas, biasanya variabel-variabel tersebut dinyatakan dalam x dan y dimana variabel x dan y terletak didalam satu ruas sehingga tidak dapat dipisahkan menjadi ruas yang berbeda (baca : ruas kiri dan ruas kanan) seperti halnya fungsi eksplisit.

Turunan Fungsi Implisit Serta bentuk umum nya

Secara umum bentuk turunan fungsi implisit adalah f(x,y) = 0, mencari turunan fungsi implisit sama dengan mencari solusi bentuk umumnya dan prinsipnya tidak jauh berbeda dengan mencari turunan fungsi biasa.

Untuk lebih jelasnya Perhatikan contoh-contoh soal dibawah ini, bagaimana mencari turunan fungsi implisit.